密码学 欧几里得算法

Euclidean欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

简介

欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法。 扩展欧几里德算法可用于RSA加密等领域。 假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的： 1997 / 615 = 3 (余 152) 615 / 152 = 4(余7) 152 / 7 = 21(余5) 7 / 5 = 1 (余2) 5 / 2 = 2 (余1) 2 / 1 = 2 (余0) 至此，最大公约数为1 以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

算法

代码实现

/*
欧几里德算法：辗转求余
原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
当b为0时，两数的最大公约数即为a
getchar()会接受前一个scanf的回车符
*/
#include<stdio.h>
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{
    unsigned int Rem;
    while(N > 0)
    {
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return M;
}
int main(void)
{
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a,b);
    printf("%d\n",Gcd(a,b));
    return 0;
}

算法拓展

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。 扩展欧几里德算法不但能计算(a，b）的最大公约数，而且能计算a模b及b模a的乘法逆元，用C语言描述如下：

#include <stdio.h>
unsigned int gcdExtended( int a,  int b,  int *x,  int *y);
int main(void) {
 
    int  a, b,GCD;
    int   x, y;
 
    a = 1232, b = 573;
 
    /*
    gcdExtended(1232, 573)时, x = 20 and y = –43
    1232x + 573y = 1
    24640-24639 = 1
    或者gcdExtended( 573,1232) 时,x=-43, y=20
    573x+1232y = 1
    -43*573+1232*20 = -24639+57640 = 1
 
    gcdExtended(9151, 5787) 时
    x=2011, y=-3180
 
     */
    GCD =  gcdExtended(a, b,&x, &y);
    printf("gcdExtended(%d, %d) = %d, x=%d, y=%d\n", a, b, GCD,x,y);
 
    return 0;
}
 
// 欧几里得扩展算法的C语言实现
// ax+by=1
unsigned int gcdExtended(int a, int b, int *x, int *y){
 
    if (a == 0){
        *x = 0;
        *y = 1;
        return b;
    }
    int x1, y1;
    int gcd = gcdExtended(b%a, a, &x1, &y1);
 
    *x = y1 - (b/a) * x1;
    *y = x1;
 
    return gcd;
}