统计 - 概率加法定理
2018-12-28 10:08 更新
互斥事件
概率状态的加法定理如果A和B是两个互斥事件，则A或B的概率由下式给出
${P(A\ or\ B) = P(A) + P(B) \\[7pt]
P (A \cup B) = P(A) + P(B)}$
这个定理可以扩展到三个互斥事件
${P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) }$
例子
问题陈述:
一张卡是从一包52中抽取的，它是国王还是王后的概率是多少？
解决方案:
让事件（A）=绘制一张国王的卡
事件（B）画一张皇后卡
P（卡牌是王或王后）= P（卡是王）+ P（卡是王后）
${P (A \cup B) = P(A) + P(B) \\[7pt]
= \frac{4}{52} + \frac{4}{52} \\[7pt]
= \frac{2}{13} + \frac{2}{13} \\[7pt]
= \frac{4}{13}}$
非互斥性事件
在存在两个事件发生的可能性的情况下，加性定理被写为:
${P(A\ or\ B) = P(A) + P(B) - P(A\ and\ B)\\[7pt]
P (A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)}$
例子
问题陈述:
一个射手已知在7次射中击中目标3; 另一个射手已知在5次射击中击中目标2次。 找到目标被击中的概率，当他们两个尝试。
解决方案:
第一个射手击中目标的概率P（A）= $ {\\ frac {3} {7}} $
第二个射手击中目标的概率P（B）= $ {\\ frac {2} {5}} $
事件A和B不是相互排斥的，因为两个射手都可能命中目标。 因此，适用的加法规则是
${P (A \cup B) = P (A) + P(B) - P (A \cap B) \\[7pt]
= \frac{3}{7}+\frac{2}{5}-(\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) \\[7pt]
= \frac{29}{35}-\frac{6}{35} \\[7pt]
= \frac{23}{35}}$
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